| Quadrare
il cerchio o arrotondare il matematico?
Riflessioni di uno scrittore sul complotto
dei numeri. Se i limiti del nostro linguaggio coincidono con
i limiti del nostro mondo, cosa succede quando pretendiamo
di fare a meno della matematica? Viene da chiederselo leggendo,
sull'ultimo «Science», la ricerca dello psicologo
cognitivo Peter Gordon condotta insieme al linguista Daniel
Everett tra gli indios Piraha. Li distingue il fatto che non
conoscono i numeri, e nessuno è mai riuscito a insegnare
loro a contare.
Secondo un vecchio adagio molto in voga tra i fisici è
più facile far quadrare un cerchio che arrotondare
un matematico. Tradotto in altri termini: ragionare o anche
semplicemente conversare con chi ha sempre la testa tra i
numeri spesso si rivela un'impresa faticosa, esasperante,
se non del tutto impossibile. Ne sa qualcosa il povero Diderot
che dovette subire lo smacco di una dimostrazione matematica
dell'esistenza di Dio. Il noto ateo francese si trovava a
San Pietroburgo seminando scetticismo tra i cortigiani di
Caterina la Grande. Alquanto infastidita da una simile mancanza
di fede, Caterina si rivolse al matematico svizzero Eluero,
suo protetto, affinché trovasse il modo di zittire
il filosofo una volta per tutte. Ebbene, leggenda vuole che
al cospetto della corte riunita il matematico si sia così
rivolto a Diderot: «Signore, (a + bn)/n = x, dunque
Dio esiste; risponda». Sempre stando a quanto si dice,
Diderot si ritirò dalla disputa con la coda tra le
gambe.
Una conoscenza illusoria?
È piuttosto legittimo nutrire dubbi sulla
veridicità dell'aneddoto visto che a raccontarlo è
stato proprio un matematico, l'inglese Augustus De Morgan,
nel 1872. Certo è che Diderot non nutriva grande simpatia
per i numeri. Forse non si spingeva al punto di negarne l'esistenza
come faceva con Dio, ma li considerava comunque una forma
di conoscenza illusoria di cui diffidare. Eppure, un mondo
senza la matematica sarebbe impensabile. Chi mai può
negare l'utilità dei numeri? Saper far di conto, come
si diceva un tempo, è un'abilità indispensabile
per qualunque individuo. La stessa Caterina non finanziava
gli studi di Eluero per mere ragioni teologiche. Le interessavano
i numeri in quanto indispensabili per la costruzioni di navi,
la balistica, l'idraulica e mille altre applicazioni affatto
concrete. Napoleone pensava più o meno alle stesse
queste cose quando dichiarò che «il progresso
e il perfezionamento della matematica sono intimamente connessi
alla prosperità dello stato». Nel 1794 un rappresentante
regionale del suo governo rivoluzionario auspicò perfino
che si tenessero corsi di «aritmetica rivoluzionaria».
I potenti non hanno mai smesso di tenere d'occhio
il lavoro dei matematici per trarne vantaggi. Anche nel XX
secolo ci sono stati casi eclatanti, come quello di John von
Neumann che all'indomani del secondo conflitto mondiale venne
ingaggiato dalla Rand Corporation per elaborare le strategie
della guerra fredda. Ma Diderot non aveva torto su tutta la
linea. La sua allergia per i numeri derivava dal fatto che
la matematica riesce a rappresentare il mondo con tanta precisione
malgrado sembri non farne parte. Un aspetto ambiguo che pure
i matematici non mancano di sottolineare.
Nel 1940 G. H. Hardy pubblicò un gustoso
libello, Apologia di un matematico (Garzanti, pp. 108, 6,50),
in cui dichiarò: «Io non ho mai fatto niente
di utile. Nessuna mia scoperta matematica ha aggiunto qualcosa,
direttamente o indirettamente, nel bene o nel male, alla attrattive
del mondo». Per parte sua, il matematico Titchmarsh
ammise che «non può avere alcuna utilità
pratica sapere se pi greco è irrazionale» pur
non mancando di sottolineare che «se possiamo saperlo,
sarebbe inammissibile ignorarlo». Lo stesso von Naumann
sosteneva che «le idee matematiche hanno origine a livello
empirico. Ma una volta che esse sono state concepite in questo
modo, l'argomento comincia a vivere di vita propria e viene
paragonato con maggiore facilità a qualcosa di creativo,
governato quasi del tutto da motivazioni estetiche. Mentre
si diffonde, o dopo numerosi incroci astratti, la disciplina
matematica rischia la degenerazione».
Come fosse un atto di fede
Spaziando in altri campi si trovano affermazioni
quali «Io non credo nella matematica» - sono parole
di Albert Einstein - e battute impietose come quella che Raymond
Queneau fa pronunciare a Mme Anglarès in Odile: «La
matematica è proprio disumana». Ciò non
ha affatto impedito alla regina delle scienze di riscuotere
una credibilità universale. Chi osa negare che il risultato
di un calcolo è valido a prescindere dal tempo e dal
luogo in cui viene effettuato? Chi può mai dubitare
che i numeri rispondono a una loro coerenza interna la cui
infallibilità ed eternità non può essere
minimamente intaccata dalle nostre credenze? Che ci piaccia
o no, alla matematica bisogna credere per forza. Una conferma
di quanto ineluttabile sia questa fede è rappresentata
dal grande successo riscosso dai libri che promettono al lettore
di spiegare come vincere la paura della matematica. Se ne
pubblicano a decine ogni anno e nei loro risvolti si leggono
frasi che sono tutto un programma. Un allettante programma.
«Siete allergici ai numeri? Questo libro fa per voi.
Usando un linguaggio semplice e diretto, l'autore ci convince
come la matematica sia un prodotto della cultura umana».
Oppure: «Con un linguaggio chiaro e ricco di humor,
l'autore propone una serie di suggerimenti concreti per stabilire
un contatto reale con la materia, aiutando a trovare in se
stessi le risorse per scoprire che la matematica non è
quell'ostacolo insostenibile che molti pensano». In
quale misura simili testi divulgativi raggiungano il loro
scopo è tutto da verificare. Essi sono però
il sintomo evidente di un'opinione molto radicata: nella matematica
c'è qualcosa che stride con la natura umana e forse
anche con la natura in generale. Ma quanto è giustificata
questa diffidenza? È possibile farsene un'idea analizzando
uno dei tanti racconti che fanno parte della letteratura della
teoria dei giochi inventa da von Naumann.
Tre persone ingaggiano un duello ma ciascuna di
esse è dotata diversamente nel tiro con la pistola.
La prima è alquanto scarsa: centra il bersaglio una
volta su tre. La seconda è un po' più brava
perché va a segno due volte su tre. La terza non sbaglia
mai. Al fine di rendere più equo il confronto, si stabilisce
che si sparerà un colpo alla volta secondo un ordine
prestabilito. Il primo a tirare sarà il meno dotato,
poi toccherà al secondo mentre il più bravo
dei tre sparerà per ultimo. Il quesito è: a
chi dovrebbe sparare il primo tiratore per sperare di cavarsela?
La paradossale risposta è: a nessuno dei due. La strategia
migliore è sparare in aria perché è molto
probabile che, una volta giunto il suo turno, il secondo tiratore
miri al terzo, essendo questi l'avversario più temibile.
Per la stessa ragione, qualora sopravvivesse, il terzo tiratore
dovrebbe puntare l'arma contro il secondo. Comunque vada,
il primo si troverà con uno degli avversari eliminato
e un altro colpo da sparare.
Nessuno può obiettare che il ragionamento
non faccia una piega. Per giunta è incredibilmente
affascinante. Quasi irresistibile. L'opzione più assurda,
quella cui mai avremmo pensato, ci appare d'incanto plausibile.
Per non dire ovvia. Eppure qualcosa non torna. Siamo onesti:
quanti di noi, trovandosi al posto del primo tiratore, sparerebbero
in aria? Dov'è dunque l'imbroglio? Ma soprattutto:
c'è davvero un imbroglio?
Dato per scontato che non basta certo l'inverosimiglianza
di una situazione ipotetica come quella descritta nel gioco
del duello a tre per demolire il solido edificio della matematica,
la soluzione del problema deve essere cercata nei suoi mattoni:
i numeri. Cosa sono realmente? Li abbiamo inventati noi o
esistevano già in una qualche dimensione che ci è
ignota? Sono solo mere rappresentazioni o il motore intimo
dell'universo?
Quando si parla di linguaggio nessuno osa mettere
in discussione che le parole sono un prodotto della nostra
civiltà e che la loro indispensabilità è
affatto umana. Ci servono per fare del mondo uno spazio condivisibile
ma fosse per il mondo si potrebbe farne tranquillamente a
meno. I numeri non sono così. Per quanto una nutrita
schiera di importanti pensatori che va Aristotele a Wittgenstein
vedano la matematica come una creazione umana, l'idea dominante
è che questa scienza sia per definizione infallibile,
intaccabile, eterna. Per i fondazionalisti - così Irme
Lakatos ha etichettato i sostenitori di questa idea dominante
- la realtà dei numeri è semplicemente fuori
discussione. Anzi, sono un'emanazione del divino, se non addirittura
il divino tout court.
Da Pitagora a Hilbert, buona parte dei grandi
matematici della storia sono fondazionalisti e dunque, chi
più chi meno, affetto da una buona dose di misticismo.
La letteratura in materia è quanto mai vasta. Leopoldo
Kronecher scrisse che «Dio creò i numeri naturali,
tutto il resto è opera dell'uomo». In merito
a certi studi di David Hilbert - che peraltro considerava
irrilevante la realtà fisica degli oggetti - Paul Gordon
commentò: «Questa non è matematica. Questa
è teologia». Salvo correggersi qualche tempo
dopo: «Mi sono convinto che la teologia ha i suoi pregi».
Georg Cantor, scopritore degli infiniti superiori, sosteneva
che non ci fosse alcun bisogno di dimostrare certi aspetti
controversi delle sue teorie dal momento che Dio in persona
si era preso il disturbo di rivelargli che i numeri erano
reali. Cantor, però, era un concentrato di stranezze
e fu a più riprese ospite di una clinica psichiatrica.
Divina o umana che sia, l'essenza della matematica
si nasconde probabilmente dietro quello che è il suo
più grande e tuttora irrisolto mistero: L'enigma dei
numeri primi di cui parla diffusamente Marcus du Sautoy in
un volume di recente pubblicazione (Rizzoli, pp. 606, 20).
Misteriosi e inafferrabili, oltre a essere indivisibili se
non per se stessi e uno, i numeri primi sono gli atomi della
matematica. Ogni numero intero può essere infatti ricavato
dal prodotto di questi elementi primari. Il problema è
che i numeri primi hanno anche la fastidiosa particolarità
di eludere il nostro controllo. 1, 2, 3 ,5, 7, 11, 13, 17,
19... Nessuno ha mai capito se questa sequenza sia frutto
di una regola che ancora ci sfugge o del caso. Del puro e
semplice caso, perché no? La fisica quantistica non
ci ha forse insegnato che talvolta Dio può giocare
ai dadi? Ma la fisica non è la matematica. La parola
«caso» ha il suono di una bestemmia in matematica.
Possibile che nel cuore di un mondo dove tutto è ordine
regni il caos assoluto?
Nella metà del secolo XIX Bernhard Riemann
scoprì una sorta di specchio matematico nel quale scrutare
i numeri primi. Escogitò anche la maniera di attraversarlo
per ritrovarsi, come Alice, in un mondo capovolto dove il
caos sembra trasformarsi nella più ordinata e salda
delle strutture. Questo specchio è noto come ipotesi
di Riemann. C'è chi l'ha definita «un articolo
di fede» perché gran parte dei successivi traguardi
nella ricerca matematica si fondano sul presupposto che essa
sia vera. Ma la triste realtà è che, a distanza
di un secolo e mezzo dalla sua formulazione, l'ipotesi di
Riemann attende ancora di essere dimostrata.
A partire dagli anni Settanta, in modo forse inaspettato,
questo rompicapo da addetto ai lavori è diventato una
questione di portata più ampia. Se ne occupa la Nsa,
la famigerata agenzia per la sicurezza nazionale statunitense,
mentre grandi aziende come la At&t investono capitali
nella ricerca sui numeri primi. La ragione è che i
codici cifrati a chiave pubblica, attualmente usati per proteggere
il commercio elettronico e la trasmissione di dati riservati
attraverso Internet, si fonda proprio sull'impenetrabilità
dei numeri primi. Catturarne il segreto significherebbe disporre
della chiave per aprire le casseforti di mezzo mondo.
Un processo fisico
Ma quand'anche si decidesse di garantire la sicurezza
elettronica con sistemi alternativi, l'ipotesi di Riemann
graverà comunque come una spada di Damocle sulla testa
dei matematici. Dovesse dimostrarsi falsa, molti teoremi sui
numeri andrebbero rivisti e con essi anche il modo di intendere
le cose. Forse finanche l'assunto fondamentale che i numeri
esistano davvero. Non a caso Riemann ha scoperto il suo specchio
esplorando l'intricata foresta dei numeri cosiddetti immaginari.
Una simile eventualità non potrà
però mai sminuire l'importanza e l'efficacia della
matematica. Se le macchine funzionano, a cominciare dai computer,
è perché la matematica funziona. A patirne sarebbe
soltanto la sua presunta purezza, la convinzione che la validità
delle sue regole è indipendente da qualunque genere
di contingenze. È un'eresia che circola da tempo. Nel
1960 Eugene Wigner tenne una famosa conferenza che aveva per
titolo L'irragionevole efficacia della matematica nelle scienza
naturali. Il suo intento era quello di capire perché
le leggi della fisica si possono descrivere così facilmente
con le regole della matematica. Senza queste regole molti
fenomeni dell'universo sarebbero infatti incomprensibili.
Ma se è pura e astratta come dicono, per quale straordinaria
coincidenza la matematica è in grado di rappresentare
gli oggetti così concreti e mutabili del mondo fisico?
In base a quale strano fenomeno uno strumento tanto astratto
ci permette di comprendere il mondo reale? È solo un
caso o esiste un'entità ancora sconosciuta che ha ordito
questo complotto dei numeri?
Per David Deutsch il presunto complotto è
solo una conseguenza della natura della matematica che, «lungi
dall'essere qualcosa di puro e astratto, è un processo
fisico». In altre parole, se il mondo in cui viviamo
è comprensibile lo dobbiamo in buona parte al caso.
Avrebbe potuto andarci molto peggio. O molto meglio, a seconda
dei punti di vista. E se tutto ciò non ci aiuta a rendere
più simpatica la matematica, almeno ci fornisce una
ragione per doverla sopportare. D'altronde non si può
mica pensare che un universo probabilistico e complesso come
il nostro possa essere esente da inconvenienti.
Se Einstein fosse ancora vivo
Ma a proposito di complessità. Nel 1989
si tenne un convegno nel corso del quale un signore del pubblico
pose la seguente domanda a un relatore che aveva appena terminato
di discutere la natura dell'incertezza quantistica: «In
quale modo Einstein avrebbe interpretato la questione se fosse
ancora vivo?» Si racconta che Murray Gell-Mann, presente
in aula e definito da qualcuno uno dei più brillanti
quanto noiosi scienziati del XX secolo, sentendosi in dovere
di intervenire, si alzò e disse: «Se Einstein
fosse vivo, oggi avrebbe più di 110 anni. Verosimilmente
sarebbe alquanto rincitrullito. Non mi pare che potrebbe dire
qualcosa di ragionevole».
Sull'incertezza quantistica forse no. Ma
sull'opportunità di arrotondare una volta per tutte
i matematici non è affatto escluso.
Testo di Tommaso Pincio
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