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Il gioco delle tre scatole,
o dilemma di Monty Hall
...prosegue dalla pagina precedente
In questa seconda parte del dilemma di Monty Hall
ci occupiamo in modo esauriente delle spiegazioni.
La presente pagina è una riduzione di quanto
contenuto nel sito
BASE
cinque - Il lato divertente della Matematica
Riassunto del dilemma di Monty Hall:
Ci sono tre contenitori A, B, C e in uno solo di essi il gestore
del gioco pone un oggetto.
Chiede ad uno dei presenti di provare ad indovinare dove sta
l’oggetto.
Sia data ad esempio la seguente situazione iniziale:
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A
Vuoto
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B
Oggetto
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C
Vuoto
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Il giocatore sceglie ad esempio A, ma non
lo apre
Il gestore apre il rimanente contenitore vuoto C e lo
mostra al giocatore
A questo punto il gestore propone tre metodi per
proseguire:
a) il giocatore mantiene sempre la scelta
fatta inizialmente;
b) il giocatore cambia sempre la scelta
ed indica il rimanente contenitore chiuso;
c) il giocatore sceglie nuovamente a caso
uno fra i due contenitori rimasti.
Quale è la probabilità di indovinare con
la strategia a)?
Quale è la probabilità di indovinare con
la strategia b)?
Quale è la probabilità di indovinare con
la strategia c)?
Ho preparato un programma in Javascript che simula
fino ad un massimo di 100.000 partite di questo gioco.
Potete utilizzarlo per fare i vostri esperimenti.
N.B. Il programma gira anche off-line, basta salvare questa
pagina.
Le risposte corrette sono:
Probabilità di indovinare con la strategia a)? 1/3
Probabilità di indovinare con la strategia b)? 2/3
Probabilità di indovinare con la strategia c)? 1/2
Il problema non è difficile e può essere
risolto applicando la definizione classica di probabilità:
Probabilità
di un evento = Num. casi favorevoli / Num. casi possibili
P = Nf / Np
Ma come? Ecco le spiegazioni.
Probabilità di indovinare con
la strategia a)? 1/3
Non dobbiamo farci fuorviare dal fatto che il gestore,
DOPO LA SCELTA DEL GIOCATORE, apre una scatola.
Di fatto una scatola su tre contiene l'oggetto, il giocatore
ha scelto una scatola e quindi la probabilità è 1/3.
Probabilità di indovinare
con la strategia b)? 2/3
Attenzione! Con questa strategia
il giocatore NON RISCEGLIE A CASO fra le due scatole rimanenti
ma CAMBIA SEMPRE LA SCATOLA.
Se abbiamo capito il caso a), è facile capire anche questo.
La probabilità che l'oggetto sia in una delle due scatole NON
scelte è 2/3.
Visto che il gestore rivela quale delle due è vuota, la probabilità
che l'oggetto sia nell'altra è per l'appunto 2/3.
Cambiando scatola è come se il giocatore avvesse scelto DUE
scatole, anziché UNA.
Probabilità di indovinare
con la strategia c)? 1/2
Dopo che il gestore ha mostrato
una scatola vuota è evidente che l'oggetto si trova in una delle
altre due.
Dunque RISCEGLIEDONE una a caso, la probabilità di indovinare
è 1/2.
Polesine... e dintorni ha voluto fare una
propria prova costruendo in modo rapido e spartano una tabella
per il calcolo del dilemma, pPer cui siamo ricorsi all'ausilio
di un computer e di un foglio elettronico nel quale abbiamo
impostato le formule necessarie e una ripetizione del gioco
(ad ogni pressione dell'apposito tasto) di 10.000 volte.
Dalla prima prova eseguita abbiamo constatato che
la nostra verifica ha confermato quanto affermato nel testo,
e ad ogni ripetizione della medesima abbiamo ricevuto la stessa
conferma. Se ancora ce ne fosse stato bisogno, la nostra convinzione
nel metodo sperimentale ha ricevuto un'altra inequivocabile
convalida.
Per chi fosse incredulo o comunque interessato,
qui sotto è riportata la videata parziale del file da
noi prodotto e sul quale diamo una semplice indicazione:
La colonna A genera per 10.000 volte (da
A3 a A10.002) un numero casuale compreso da 0 a 2,999999; le
colonne B, C, D rappresentano le tre scatole;
la colonna E rappresenta la prima scelta casuale; le
colonne F e G rappresentano le due scatole rimanenti
dopo l'apertura di una vuota; la colonna H rappresenta
la seconda scelta fatta in modo casuale; la colonna I
rappresenta il cambio costante della prima scelta, così
come proposto dal testo sopra.
La riga 1 è solamente descrittiva; la riga 2
rappresenta le somme delle 10.000 prove; le righe da 3
a 10 sono le prime 8 prove casuali delle 10.000 di cui
è composta la pagina completa.
Leggiamo attraverso la riga 3 come funziona il tutto:
sappiamo che la colonna A genera dei numeri casuali e
nel nosto caso, alla cella A3, il numero casuale generato
è 1,425208 che viene analizzato dalle 3 celle B3,
C3, D3 nel seguente modo: se il numero casuale
generato è compreso tra 0 e 0,999999, viene posto un
1 (cioè le 10.000 lire) nella cella B3;
se il numero generato è compreso tra 1 e 1,999999, viene
posto un 1 nella cella C3, se invece il numero
è compreso tra 2 e 2,999999, l'1 viene posto nella
cella D3. In questo modo abbiamo stabilito un modo casuale
di mettere le 10.000 lire (1) in una scatola, mentre le altre
due rimangono vuote (0). In effetti, in accordo a quanto esposto,
A3 ha generato un numero che ha simulato le 10.000 lire
nella scatola della colonna C; mentre il numero generato
dalla cella A4 pone l'1 nella scatola della colonna D
e il numero contenuto in A6 pone a 1 la scatola B.
Come già anticipato la colonna E genera un numero
casuale: o 0 o 1 o 2 ad indicare la scatola
scelta (da notare che le scatole non sono descritte con 1, 2,
3 ma con 0, 1, 2); la colonna F verifica se la scelta
E è giusta, per cui, se in E3 ho il numero
casuale 0 (equivalente alla scelta della scatola 0
di B3) in F3 viene messo il valore contenuto
nella cella B3, e se questo valore è 1
vuol dire che la scelta è stata giusta; se invece in
E3 ho un 1 (equivalente alla scelta della scatola
1 di C3) in F3 viene messo il valore contenuto
nella cella C3, e se questo valore è 1
vuol dire che la scelta è stata giusta; se invece in
E3 ho un 2 (equivalente alla scelta della scatola
2 di D3) in F3 viene messo il valore contenuto
nella cella D3, e se questo valore è 1
vuol dire che la scelta è stata giusta. A questo punto
visto che una scatola vuota viene aperta ed eliminata dal gioco,
la condizione che rimane è di 2 scatole di cui una certamente
vincente e l'altra certamente perdente, per cui, visto che nelle
celle della colonna F in cui è presente un 1 equivale
alla scatola vincente, nella colonna G abbiamo messo
il valore contrario (una vince e l'altra perde), per cui fra
le due scatole rimaste in gioco e rappresentate dalle colonne
F e G, le 10.000 lire sono contenute in quella
che ha un 1. Con la colonna H simuliamo la seconda scelta
e introduciamo dei cambiamenti casuali tra le due scatole F
e G e i valori 1 che troviamo corrispondono alle volte
indovinate. Siamo così arrivati alla colonna I
nella quale abbiamo simulato un cambiamento costante della prima
scelta nel seguente modo: sappiamo già che la colonna
F ci indica le volte in cui abbiamo indovinato, per cui,
capovolgendo tutti i valori della colonna F abbiamo il numero
delle volte indovinate effettuando una sistematica variazione
della prima scelta!
Quindi, i valori totali delle 10.000 prove dell'esempio
visibile, si osservano alla riga 2, nella quale, alla cella
B2 si vede il numero totale di volte in cui la banconota
è stata contenuta nella scatola 0 (e così dicasi
per le celle C2 e D2), da notare che il numero
è distribuito approssimativamente sul 33%. Nella cella
E2 è visibile che fra le 3 possibilità
(0, 1, 2) il numero casuale di volte di ogni valore si attesta
su un terzo, ovvero circa 1 (0,9948). Mentre in F2 si
nota che il numero delle volte indovinate è di 3372 (ovvero
33,72%). Nella cella H2 invece abbiamo la conferma che
se variamo casualmente la nostra scelta, ci si attesta attorno
al teorico 50% (50,03) e, finamente, nella cella I2 possiamo
constatare che se ogni volta cambiamo la prima scelta, le probabilità
di indovinare si attestano sul teorico 66% (66,28).
Se qualcuno volesse riprodurre la
tabella questi sono i dati da inserire:
Le formule dei totali inserite nella
riga 2 sono le seguenti:
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