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Il gioco delle tre scatole,
o dilemma di Monty Hall
Benché ne esistano versioni
differenti, vi presenterò qui quella che ritengo sia
più facilmente visualizzabile:
Ci sono tre scatole identiche,
ognuna provvista di coperchio, ed un certo numero di biglietti
da diecimila lire. Il gioco deve essere ripetuto moltissime
volte (diciamo 150, 300 o 500 volte, il numero esatto non conta,
si suppone di essere abbastanza ricchi da permettersi un simile
numero di giocate).
Queste sono le regole per ogni giocata, e tutte le giocate si
ripetono in modo identico: voi uscite dalla stanza e mentre
siete fuori io metto una banconota da diecimila lire in una
delle tre scatole, poi le richiudo tutte e tre. Quindi io saprò
esattamente dove si trova la banconota, ma voi non lo saprete,
e adesso potete rientrare e tentare di indovinare. Ad ogni giocata,
se indovinate, vincete diecimila lire. Ogni singola giocata
è suddivisa in due tempi: nel primo, voi indicate a vostra
insindacabile scelta una delle tre scatole, che rimane chiusa.
Appena avrete scelto la scatola, io aprirò il coperchio
di un'altra scatola, una delle due rimanenti, che sarà
sempre vuota, dato che io so bene in quale scatola ho messo
la banconota. (Questo vuoi dire che nel caso in cui voi abbiate
scelto, ovviamente senza saperlo, una scatola vuota, io aprirò
comunque la seconda scatola vuota. Nel caso in cui, invece,
sempre senza saperlo, abbiate scelto quella giusta, quella con
la banconota dentro, io aprirò indifferentemente una
delle due scatole vuote.) Vi troverete dunque di fronte due
scatole chiuse; una delle quali conterrà sicuramente
la banconota.
A questo punto io vi do la possibilità di conservare
la prima scelta o di spostarla sulla seconda scatola chiusa.
Così avverrà sempre, ad ogni giocata, e ad ogni
giocata, se la vostra seconda scelta (quella finale) sarà
giusta, voi vincerete le diecimila lire. Poi uscirete nuovamente
dalla stanza e il gioco riprenderà dall'inizio.
Ed ecco il problema:
Come regola generale, vi converrà mantenere la prima
scelta, oppure cambiare? Quale sarà la strategia migliore?
Pensateci. Chiedetelo anche ai
vostri amici più intelligenti, senza però dir
loro, almeno per il momento, che persino certi premi Nobel hanno
dato la risposta sbagliata, ostinandosi a crederla corretta
anche di fronte all' evidenza.
Personalmente, mi sono trovato
di fronte a strani atteggiamenti, assai diversi fra loro: qualcuno
sostiene energicamente che si debba sempre cambiare scelta,
qualcun altro, invece, dichiara fermamente che è sempre
giusto mantenerla. Altri affermano che non c'è differenza
alcuna, oppure che si debba mantenere la scelta il 50% delle
volte e cambiarla l'altro 50%. Che ci crediate o no, c'è
anche chi dice che, proprio perché non fa nessuna differenza,
si deve sempre cambiare, alla stessa stregua di chi, per ugual
motivo, esorta a mantenere la prima scelta. Quando viene loro
chiesto il perché, essi rispondono: «Così!»,
oppure «sono un conservatore», o «Mi piace
cambiare». Un consiglio: se volete evitare il peggio non
proponete mai questo gioco ad una compagnia numerosa.
Per iniziare a mettere un po'
d'ordine in questa gran confusione mentale, è meglio
stabilire subito che se veramente non ci fosse alcuna differenza,
se cioè la probabilità di trovare la banconota
fosse veramente del 50%, allora non ci sarebbe nessun motivo
di cambiare, mantenere o di seguire una qualunque strategia,
per esempio facendo testa o croce. Almeno su questo spero saremo
tutti d'accordo. Ma, è proprio vero che la probabilità
è del 50%? L'intuizione, in questo caso, è schiacciante:
ci sono due scatole di cui una contiene sicuramente la banconota,
ma non sappiamo quale. Quindi deve essere 50%.
chiacciante ma sbagliata! La scatola
scelta per prima ha, ed avrà sempre, 1/3 di probabilità
di contenere le diecimila lire. Le altre due, insieme, hanno
2/3 di probabilità, ma nel momento in cui io apro quella
vuota, la seconda, da sola, varrà 2/3.
Dunque, bisogna sempre cambiare.
Il cambio fa aumentare le probabilità da 1/3 a 2/3.
Tutto ciò è terribilmente
controintuitivo, ma razionalmente impeccabile.
Visto che anche certi vincitori
di premi Nobel rifiutano energicamente questa conclusione, sarà
opportuno giustificare la necessità del cambio anche
da un altro punto di vista.
Se per caso la prima scelta è quella giusta, dopo che
io avrò aperto la scatola vuota il cambio sarà
certamente (non solo probabilmente) penalizzante. Al contrario,
se la prima scelta è caduta sulla scatola vuota, sarete
certamente (non solo probabilmente) avvantaggiati dal cambio.
Abbiamo così introdotto un leggero margine di sicurezza.
Utilizziamolo subito. Quanto spesso vi capiterà di scegliere
la scatola giusta (ed essere così necessariamente penalizzati
dal cambio)? Una volta su tre. Quante volte vi capiterà
di scegliere una scatola vuota (essendo così necessariamente
favoriti dal cambio)? Due volte su tre.
Ecco perché la migliore
strategia è quella di cambiare sempre. Risulta vincente
due volte su tre. So per esperienza che, benché questa
spiegazione risulti razionalmente convincente, continuano a
manifestarsi forti resistenze: neppure questi chiarissimi esempi
bastano a demolire l'intuizione di partenza. La potenza esplicativa
di queste dimostrazioni non ha fatto presa sulla pur sperimentata
intelligenza di certe persone, le quali, dopo qualche attimo
di ostile silenzio, hanno insistito perché ricominciassimo
tutto da capo. Volevano assolutamente ripartire dal punto in
cui ci sono due scatole chiuse, e non si sa quale delle due
contenga la banconota. Si rifiutano di considerare tutto ciò
che è successo prima di quel momento e quanto può
succedere dopo quel momento, ancorandosi alla primaria, irresistibile
intuizione che la probabilità debba essere del 50%. Ho
persino conosciuto persone che hanno rifiutato di accettare
queste minidimostrazioni a favore del cambio di decisione, non
volendo in alcun modo accettare il fatto che, dopo l'apertura
del coperchio, le rimanenti scatole hanno probabilità
diverse di contenere la banconota. Eppure è così:
le due scatole chiuse hanno due probabilità diverse di
contenere la banconota.
Questa è la natura umana.
Quando potenti emozioni si combinano, lo scienziato cognitivo
se ne va in punta di piedi. Il campo delle emozioni non è
di sua competenza, essendo il quadro già abbastanza complicato
senza la loro prepotente apparizione.
Tratto da "L'illusione di sapere"
di Massimo Piattelli Palmarini
Edizione Oscar Saggi Mondadori
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